Физика: выводы, допущения, источники

Здесь выведена каждая формула, которую использует сайт. Если вывод вызывает сомнения, на странице «Проверка» он сравнивается с численным экспериментом, а код открыт.

Содержание: откуда тяжесть · трос с массой · продольные колебания · поперечные волны · качание кораблей · яблоко · переход по тросу · кольцо · орбита · комфорт · численная модель · источники

1. Откуда берётся тяжесть

В инерциальной системе отсчёта никакой центробежной силы нет. Человек на полу вращающегося отсека движется по окружности, и пол толкает его к оси с силой \(m\omega^2 r\). Эту силу реакции опоры он и ощущает как вес, направленный «вниз» — от оси.

Во вращающейся системе отсчёта (угловая скорость \(\vec\omega\) постоянна) закон Ньютона приобретает две фиктивные силы:

$$m\,\vec a' = \vec F \;\underbrace{-\; m\,\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)}_{\text{центробежная},\ m\omega^2 r_\perp} \;\underbrace{-\; 2m\,\vec\omega\times\vec v'}_{\text{Кориолиса}}$$

Центробежная зависит только от положения, Кориолиса — от скорости относительно отсека. Именно она делает искусственную тяжесть «неправильной»: падающие предметы отклоняются, бегущий против вращения легчает, а повороты головы вызывают укачивание.

Все модели сайта считают в инерциальной системе, где сил инерции нет, и только потом переводят картинку во вращающуюся. Поэтому Кориолис и центробежная сила в них не «заложены», а получаются.

2. Трос с массой: натяжение, сечение, удлинение

Корабль массы \(M\) подвешен к тросу за нос; нос на радиусе \(R_a\), центр масс корабля — на \(R_{\text{цм}} = R_a + a\). В стационарном вращении центр масс корабля движется по окружности, поэтому трос тянет корабль к оси с силой

$$T_a = M\omega^2 R_{\text{цм}}$$

Элемент троса длиной \(dx\) на радиусе \(x\) (погонная масса \(\rho A\)) тоже движется по окружности: разность натяжений по его концам равна центростремительной силе:

$$T(x) - T(x+dx) = \rho A\,dx\;\omega^2 x \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dx} = -\rho A\,\omega^2 x \quad\Rightarrow\quad T(x) = T_a + \tfrac12\rho A\,\omega^2\,(R_a^2 - x^2)$$

Максимум натяжения — на оси. Выбираем сечение так, чтобы там напряжение было равно допускаемому \(\sigma_{\text{доп}} = \eta\sigma/n\), где \(\sigma\) — прочность волокна, \(n\) — запас прочности, \(\eta\) — какая доля прочности волокна реализуется в канате:

$$\sigma_{\text{доп}} A = T_a + \tfrac12\rho A\omega^2R_a^2 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{T_a}{\sigma_{\text{доп}} - \rho\,\omega^2R_a^2/2}, \qquad m_{\text{троса}} = 2\rho A R_a$$
При \(\rho v_a^2/2 \to \sigma_{\text{доп}}\) (где \(v_a = \omega R_a\)) сечение уходит в бесконечность: трос не держит сам себя. Для Dyneema при n = 3, η = 0,5 это \(v_a \approx 1{,}1\) км/с. В наших задачах — десятки м/с, и масса троса составляет десятые доли процента массы кораблей.

Про η. Канат слабее волокна: часть нитей нагружена неравномерно, концевые заделки (сплесни) теряют ещё 10–20 %. Например, у плетёных канатов из Dyneema SK78 диаметром 32 мм разрывная нагрузка 88,3 т при массе 0,567 кг/м (паспорт DYNICE 78). В пересчёте на массу это ~1,5 ГПа, то есть η ≈ 0,45 от прочности волокна 3,4 ГПа. Поэтому по умолчанию η = 0,5.

Упругое удлинение половины троса (\(E\) — модуль Юнга):

$$\Delta L_{1/2} = \int_0^{R_a}\frac{T(x)}{EA + T(x)}\,dx \approx \frac{T_a R_a + \rho A\,\omega^2 R_a^3/3}{EA}$$
Точная форма учитывает, что деформация отсчитывается от длины без нагрузки; интеграл берётся в элементарных функциях (через artanh), его и считает код. Приближение справа отличается на величину порядка деформации (~0,5 %).
Используется модуль волокна. У каната эффективный модуль ниже (нити выпрямляются и уплотняются), так что реальное удлинение может быть в 1,5–2 раза больше. Мы также пренебрегаем тем, что при растяжении на ~0,5 % масса троса чуть перераспределяется.

3. Продольные колебания: корабли «подпрыгивают» на тросе

По симметрии середина троса неподвижна, и каждая половина — пружина жёсткости \(k = EA/l_0\) с грузом \(M\) на конце, где \(l_0 = R_a - \Delta L_{1/2}\) — длина половины троса без нагрузки (\(dT/dr = EA/l_0\); если взять растянутую длину \(R_a\), ошибка порядка деформации \(\varepsilon\) того же размера, что и добавка \(3\omega^2\)). Сила натяжения проходит через ось, поэтому момент импульса корабля \(h = Mr^2\dot\varphi\) сохраняется. Эффективная потенциальная энергия радиального движения и её вторая производная в равновесии:

$$U(r) = \tfrac12 k\,(r - r_0)^2 + \frac{h^2}{2Mr^2}, \qquad U''(r) = k + \frac{3h^2}{Mr^4} = k + 3M\omega^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_{\text{прод}}^2 = \frac{EA}{l_0 M} + 3\omega^2$$

Масса троса учитывается по Рэлею: при линейном профиле скоростей кинетическая энергия пружины равна энергии трети её массы на конце, т. е. \(M \to M + m_{\text{троса}}/6\). Для параметров по умолчанию период около 0,8 с, а добавка \(3\omega^2\) меняет частоту меньше чем на 1 %. Затухание определяется внутренним трением троса и в космосе очень мало: если нужно гасить колебания, это делает лебёдка (на странице модели есть режим «лебёдка держит тяжесть» — это регулятор натяжения, который работает как демпфер).

Провис и рывок. Трос не сопротивляется сжатию. Если размах колебаний расстояния между кораблями больше статического удлинения \(2\Delta L_{1/2}\), трос на часть периода провисает, а затем дёргается. Пик натяжения при рывке заметно больше рабочего — это одна из главных причин закладывать запас прочности.

4. Поперечные волны

Натянутый трос — струна. Скорость поперечной волны и частоты мод (концы закреплены массивными кораблями):

$$c = \sqrt{T/\rho A}, \qquad \omega_n = \frac{n\pi c}{2R_a}$$

Колебания в плоскости вращения чуть медленнее: смещение \(y\) поперёк троса в этой плоскости центробежная сила \(\omega^2 y\) раскачивает, так что \(\omega_n^2 \to \omega_n^2 - \omega^2\). Колебания поперёк плоскости вращения этой поправки не имеют. Для дискретной модели из \(N\) бусин массы \(m\) с шагом \(h\) \(\omega_n = 2\sqrt{T/mh}\,\sin(n\pi/2N)\) — именно это сравнивается с симуляцией. Поскольку трос в ~1000 раз легче кораблей, волны на корабли почти не влияют.

5. Качание кораблей

Корабль висит на тросе за нос, поэтому может поворачиваться относительно троса (тангаж). Модель: трос невесомый и нерастяжимый, длина \(2R_a\); корабли одинаковые, \(M\) и \(I\) — масса и момент инерции относительно центра масс, \(a\) — расстояние от носа до центра масс. Угол троса \(\varphi\), угол каждого корабля относительно троса \(\psi_{1,2}\). Внешних моментов нет, и центр масс системы неподвижен.

Симметричная мода (\(\psi_1 = \psi_2 = \psi\), середина троса на месте)

Центр масс корабля \(\vec r = R_a\vec e(\varphi) + a\,\vec e(\varphi+\psi)\), лагранжиан на один корабль:

$$L = \tfrac12 M R_a^2\dot\varphi^2 + \tfrac12 J\,\Omega^2 + M R_a a\,\dot\varphi\,\Omega\cos\psi, \qquad \Omega = \dot\varphi + \dot\psi,\quad J = I + Ma^2$$

\(\varphi\) — циклическая координата, её импульс сохраняется. Линеаризуем около \(\psi = 0,\ \dot\varphi = \omega\) с обозначениями \(P = MR_a^2,\ K = MR_a a\). Из сохранения импульса \(\delta\dot\varphi = -\dot\psi\,(J+K)/(P+J+2K)\), из уравнения для \(\psi\):

$$\ddot\psi\;\frac{JP - K^2}{P + J + 2K} = -K\omega^2\psi, \qquad JP - K^2 = IMR_a^2 \quad\Rightarrow\quad \Omega_{\text{сим}}^2 = \omega^2\,\frac{a\,(MR_{\text{цм}}^2 + I)}{I\,R_a}$$

Антисимметричная мода (\(\psi_1 = -\psi_2 = \psi\))

Чтобы центр масс системы оставался на месте, середина троса смещается вбок на \(-a\sin\psi\). Тогда оба центра масс кораблей лежат на линии троса на расстоянии \(r = R_a + a\cos\psi\) от оси, и

$$L = M(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) + I(\dot\varphi^2 + \dot\psi^2), \qquad p_\varphi = 2(Mr^2 + I)\,\dot\varphi = \text{const}$$

Эффективный потенциал \(p_\varphi^2/4(Mr^2+I)\) растёт при уменьшении \(r\), т. е. при отклонении \(\psi\). Отсюда

$$\Omega_{\text{анти}}^2 = \omega^2\,\frac{M R_{\text{цм}}\,a}{I}$$

Смысл: при длинном тросе центр масс корабля почти не может сместиться вбок (трос качается вместе с ним), и корабль поворачивается вокруг своего центра масс. Восстанавливающий момент создаёт натяжение \(T_a\), приложенное к носу на плече \(a\psi\): \(\Omega^2 \approx T_a a / I\). Обе моды в несколько раз быстрее вращения (периоды 3–5 с для параметров по умолчанию). Для экипажа это значит, что после толчка «вертикаль» на палубе качается с таким периодом, а затухания почти нет.

6. Яблоко

Отпущенный предмет летит в инерциальной системе по прямой со скоростью \(\vec V = \vec v' + \vec\omega\times\vec r_0\). Чтобы получить картину изнутри, координаты поворачиваются на \(-\omega t\): \(x' = x\cos\omega t + y\sin\omega t,\ y' = -x\sin\omega t + y\cos\omega t\). Момент удара ищется бисекцией.

Точные решения для предмета, отпущенного из покоя на высоте \(h\) над полом радиуса \(R\) (\(r_0 = R - h\), \(\theta = \omega t\)):

$$\text{кольцо:}\quad \cos\varphi = \frac{r_0}{R},\quad t = \frac{\operatorname{tg}\varphi}{\omega},\quad s = R(\operatorname{tg}\varphi - \varphi)$$ $$\text{плоская палуба:}\quad x' = r_0(\cos\theta + \theta\sin\theta),\quad y' = r_0(\theta\cos\theta - \sin\theta)$$ $$h \ll R:\quad s \approx \tfrac13 R\left(2h/R\right)^{3/2} = \tfrac13\,\omega g t^3$$

Знак: предмет отстаёт (падает против вращения), потому что рука ближе к оси и движется медленнее пола. На Земле падающее с башни тело отклоняется на восток — вершина башни дальше от оси, чем основание.

7. Переход по тросу

Во вращающейся системе, ось x вдоль троса, ось y по вращению. Чтобы двигаться по закону \(x(t)\), нужно прикладывать силу

$$\vec F = m\left(\vec a' + \vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r) + 2\vec\omega\times\vec v'\right) \quad\Rightarrow\quad F_x = m(\ddot x - \omega^2x),\quad F_y = 2m\omega\dot x$$

Работа подъёма от \(R_a\) до оси \(W = \tfrac12 m\omega^2R_a^2\). Прогиб троса под поперечной силой \(F\) в точке \(s\) пролёта \(\ell\): \(\delta = F s(\ell - s)/(T\ell)\) (струна без изгибной жёсткости). Изменение скорости вращения — из сохранения момента импульса \(\omega(x) = L/(I_{\text{сист}} + mx^2)\).

8. Кольцо

Дуга кольца \(R\,d\theta\) с погонной массой \(\lambda\) движется по окружности; центростремительную силу дают натяжения по её концам:

$$2T\sin\frac{d\theta}{2} = \lambda R\,d\theta\;\omega^2R \quad\Rightarrow\quad T = \lambda\,\omega^2R^2 = \lambda v^2$$

Натяжение не зависит от радиуса при заданной скорости обода. При заданной тяжести \(v = \sqrt{gR}\), поэтому \(T = \lambda g R\). Силовой пояс несёт груз и сам себя: \(\sigma_{\text{доп}}A_b = (\lambda + \rho_b A_b)v^2\). Гермооболочка трубы радиуса \(a\) под давлением \(p\): кольцевое напряжение \(pa/t\) (напряжение вдоль трубы вдвое меньше, мы им не пользуемся — это запас). Спицы и ступица не учитываются: кольцо держит само себя, спицы нужны для доступа и жёсткости.

9. Поведение на орбите

Приливные силы. Разница гравитационного ускорения на размере системы \(r\) порядка \(3n^2 r\), где \(n\) — орбитальная угловая скорость (\(n \approx 1{,}13\cdot10^{-3}\) с⁻¹ на высоте 400 км). Для \(r = 76\) м это \(3\cdot10^{-4}\) м/с² — в 30 000 раз меньше рабочей тяжести.

Прецессия оси вращения. Момент гравитационного градиента \(\vec\tau = 3n^2\,\hat o\times(\mathbf I\hat o)\), \(\hat o\) — направление на центр Земли. Для осесимметричного тела (ось \(\hat a\), моменты \(I_a, I_t\)) усреднение по орбите (\(\langle\hat o\hat o^T\rangle = \tfrac12(1 - \hat k\hat k^T)\), \(\hat k\) — нормаль к орбите) даёт

$$\langle\vec\tau\rangle = -\tfrac32 n^2 (I_a - I_t)(\hat a\cdot\hat k)\,\hat k\times\hat a, \qquad \vec H = I_a\omega\hat a \quad\Rightarrow\quad \Omega_p = -\frac{3n^2}{2\omega}\,\frac{I_a - I_t}{I_a}\cos\beta$$

Гантель, вращающаяся поперёк своей оси, в среднем по вращению имеет \(I_t = I_a/2\) (как и тонкое кольцо), поэтому \(\Omega_p = -\tfrac34(n^2/\omega)\cos\beta\): ось медленно поворачивается вокруг нормали к орбите в обратную сторону. Для 4 об/мин на низкой орбите период ~1 месяц, для 2 об/мин — ~2 недели. Если ось нужно держать (например, на Солнце), это постоянная, хотя и небольшая работа двигателей. Проверка интегрирует уравнения Эйлера с этим моментом.

Устойчивость вращения. И гантель, и кольцо вращаются вокруг оси наибольшего момента инерции. Внутреннее трение (плескание воды, движение людей) такое вращение стабилизирует. Вращение вокруг оси наименьшего момента при трении неустойчиво — так в 1958 году «Эксплорер-1» перешёл из вращения вокруг длинной оси в кувыркание.

10. Комфорт

11. Численная модель троса

12. Источники